Es gibt 10 Arten von Menschen:
Diejenigen, die Binär verstehen, und diejenigen, die es nicht verstehen.

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Im Binärsystem oder Dualsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. Das Binärsystem ist somit ein Binärcode für Zahlen. Anstelle der zehn Ziffern ($0$ bis $9$) des Dezimalsystems stehen uns nur zwei Ziffern ($0$ und $1$) zur Verfügung. Wenn wir also im Binärsystem zählen, dann benötigen wir bereits für die Zahl $2$ zwei Stellen:

Binär	Dezimal
$0_2$	$0$
$1_2$	$1$
${10}_2$	$2$
${11}_2$	$3$
${100}_2$	$4$
${101}_2$	$5$
${110}_2$	$6$
${111}_2$	$7$

Binär	Dezimal
${1000}_2$	$8$
${1001}_2$	$9$
${1010}_2$	$10$
${1011}_2$	$11$
${1100}_2$	$12$
${1101}_2$	$13$
${1110}_2$	$14$
${1111}_2$	$15$

Bei Binärzahlen hängen wir immer eine kleine, tiefgestellte ${}_2$ an, um sie von Dezimalzahlen unterscheiden zu können.

Stellenwert

Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor 10 zu. So ist $100$ zehn mal mehr als $10$.

Beispiel: Die Zahl 2037 besteht aus 2 Tausendern, keinem Hunderter, 3 Zehner und 7 Einern:

Wir können den Wert der Stelle auch als 10er-Potenz schreiben:

$$\stackrel{{10}^3}{2}\stackrel{{10}^2}{0}\stackrel{{10}^1}{3}\stackrel{{10}^0}{7}$$

Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.

Hinweis

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
Nummer	$3$	$2$	$1$	$0$
Stellenwert	${10}^3$	${10}^2$	${10}^1$	${10}^0$
Stellenwert	$1000$	$100$	$10$	$1$
«Ziffer»	$2$	$0$	$3$	$7$
Wert	$2\cdot 1000$	$0\cdot 100$	$3\cdot 10$	$7\cdot 1$

Stellenwert

ist die Basis des Systems hoch die Nummer der Stelle beginnend mit Null

Wert einer Ziffer

ist die Ziffer mal den Stellenwert

Binärzahlen

Im Binärsystem ist dieser Faktor einfach 2. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die binäre Zahl ${1101}_2$ sieht das also so aus:

$$\stackrel{2^3}{1}\stackrel{2^2}{1}\stackrel{2^1}{0}\stackrel{2^0}{1}$$

Oder mit ausgerechneten Stellenwerten:

$$\stackrel{8}{1}\stackrel{4}{1}\stackrel{2}{0}\stackrel{1}{1}$$

Zweierpotenzen

Wie gross ist $2^{10}$? Man muss das nicht auswändig können – wir können ja das nächste Element der Zweierpotenzreihe ganz einfach aufs vorherige zurückführen:

$$2^n=2\cdot 2^{n-1}$$

Die Binärdarstellung der Zweierpotenz $2^n$ ist eine Eins gefolgt von $n$ Nullen.

Potenz	Wert	Binärzahl
$2^0$	$1$	$1_2$
$2^1$	$2$	${10}_2$
$2^2$	$4$	${100}_2$
$2^3$	$8$	${1000}_2$
$2^4$	$16$	${10000}_2$
$2^5$	$32$	${100000}_2$
$2^6$	$64$	${1000000}_2$
$2^7$	$128$	${10000000}_2$
$2^8$	$256$	${100000000}_2$
$2^9$	$512$	${1000000000}_2$
$2^{10}$	$1024$	${10000000000}_2$

Umrechnung vom Binär- ins Dezimalsystem^[1]

Um eine Binärzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Beispiel:

$${1101}_2=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+0+1=13$$

Endet die Binärzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl. Ist die letzte Ziffer der Binärzahl eine 0, so ist die Dezimalzahl gerade.

Beispiel:

$${101001}_2=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=32+8+1=41$$$${101000}_2=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=32+8=40$$

Dieses Verfahren kann auch in Form einer Tabelle aufgeschrieben werden. Dazu notiert man die einzelnen Ziffern einer Binärzahl in Spalten, die mit dem jeweiligen Stellenwert der Ziffer überschrieben sind.

Binärzahl	32	16	8	4	2	1	Dezimalzahl
101				1	0	1	$4+1=5$
100011	1	0	0	0	1	1	$32+2+1=35$
1010			1	0	1	0	$8+2=10$

Man addiert nun alle Stellenwerte, die über den Einsen der Binärzahl stehen und erhält so die entsprechende Dezimalzahl. Um zum Beispiel den Dezimalwert der dritten Binärzahl zu errechnen, werden die Stellenwerte 8 und 2 addiert. Das Ergebnis ist 10.

interaktives Umrechnungstool

Beim folgenden Tool kannst du mit einem Klick die 5 Bits ganz links setzen (1) oder entfernen (0)

Binärzahlen

Setze die Bits mit einem Klick und schau dir an, welche Dezimalzahl dabei herauskommt.

11111₂ =

16+8+4+2+1

= 31 ₁₀

Aufgabe: Binär zu Dezimal

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umrechnung trainieren:

• gib die Lösung als Dezimalzahl ein (dort wo das Fragezeichen steht)
• mit jedem richtigen Resultat holst du einen Punkt
• Wenn du genügend Punkte hast, kommst du in den nächsten Level

Umrechnen Binär in Dezimal

Notiere die Dezimaldarstellung der angegebenen Binärzahl:

₂ 

=

Punkte 0 (Level 1)

Lösung

Da die Aufgaben zufällig gestellt werden, gibt es keine Lösung. Dafür eine kleine Hilfestellung: Du siehst hier zusätzlich die Stellenwerte der gesetzten Bits:

₂ 

=

Umrechnung vom Dezimal- ins Binärsystem

Variante «nach Rezept»

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig (d.h. mit Rest) durch Zwei dividiert. Dann betrachtet man insbesondere den Rest des Resultats:

• Bei Rest $1$ schreibt man eine 1 hin.
• Bei Rest $0$ schreibt man eine 0 hin.
  Das Resultat wird nun wieder durch Zwei dividiert. Die nächste 0 oder 1 wird links der bestehenden hingeschrieben.
  Hier wird die Umrechnung am Beispiel 41 gezeigt:

$$\begin{array}{rlr}41:2& =20Rest1& \to \text{1}\\ 20:2& =10Rest0& \to \text{01}\\ 10:2& =5Rest0& \to \text{001}\\ 5:2& =2Rest1& \to \text{1001}\\ 2:2& =1Rest0& \to \text{01001}\\ 1:2& =0Rest1& \to \text{101001}\end{array}$$

Die Binärzahl ergibt sich, indem die Reste von unten nach oben aufgeschrieben werden: 101001.

Variante «Subtraktion»

Für kleinere Zahlen ist diese Variante wohl schneller. Man muss jedoch die Zweierpotenzreihe in- und auswändig kennen und beginnt bei der grössten Zweierpotenz die in der Zahl enthalten ist.

Man kann wie folgt vorgehen:

1. Finde die nächstkleinere Zweierpotenz
2. Ziehe diese von der Zahl ab und notiere eine 1
3. Kann die nächstkleinere Zweierpotenz vom Rest abgezogen werden?
   • ja: abziehen und 1 notieren
   • nein: eine 0 notieren
4. ab Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz (1) erreicht ist

Beispiel:

Dezimalzahl	Überlegung	Binärzahl
$19$	nächstkleinere Zweierpotenz ist 16	1
$19-16=3$	8 kommt nicht vor	0
$3$	4 kommt nicht vor	0
$3$	2 kommt vor	1
$3-2=1$	1 kommt vor	1

Aufgabe: Dezimal zu Binär

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umrechnung trainieren:

• gib die Lösung als Binärzahl ein (dort wo das Fragezeichen steht)
• mit jedem richtigen Resultat holst du einen Punkt
• Wenn du genügend Punkte hast, kommst du in den nächsten Level

Wie weit kommst du?

Umrechnen Dezimal zu Binär

Setze die Bits mit einem Klick und schau dir an, welche Dezimalzahl dabei herauskommt.

=

Punkte 0 (Level 1)

Lösung

Da die Aufgaben zufällig gestellt werden, gibt es keine Lösung. Dafür eine kleine Hilfestellung: Du kannst hier die einzelnen Bits mit eine Klick setzen.

=

Aufgabe: Binärzahlen und Dezimalzahlen

Ordne die Binärzahlen den Dezimalzahlen zu. Nicht alle müssen passen!

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1. Quelle: Wikipedia: Dualsystem ↩︎